Un colis fragile

Dans une usine de verreries, on a établi qu’un carton remplit de verres cristal casse lorsqu’il heurte un mur à une vitesse supérieure à 2.5 m/s.

Tout d’abord, estimons de quelle hauteur un carton devrait tomber pour atteindre cette vitesse.

L’accélération est ici celle de la gravité, et le changement de vitesse de 0 à 2.5 m/s. Nous connaissons le rapport entre accélération, temps et vitesse parcourue :
Appliquons au problème présent, et résolvons pour l’inconnue :
Nous connaissons aussi le rapport entre l’accélération, la distance parcourue et le temps.

Il n’y qu’à l’appliquer au cas présent pour trouver la hauteur maximale à laquelle lâcher le carton :

OK. Ce n’est pas très haut.

Donc, pour gentiment déposer les cartons au sol, vous êtes chargé de concevoir une rampe avec des rouleaux sur lesquels les employés déposeront les cartons et au bout de laquelle d’autres employés les prendront pour les arranger dans un camion dont le plancher est situé 2 mètres plus bas. Si la pente de votre rampe est trop raide, les verres casseront. Si elle ne l’est pas assez, les cartons ne descendront pas. Ne vous inquiétez pas, pas de pression, il n’en va que de la possibilité de l’usine de vendre des verres…

Donc : vous devez trouver l’angle auquel la rampe doit être inclinée. Faisons un petit dessin.

Avec ce petit dessin, et en prenant comme étant la direction de la rampe, nous pouvons appliquer la seconde loi de Newton dans le sens de :

Par trigonométrie, on trouve une expression pour :
Insérant cela dans la seconde loi de Newton, on trouve l’équation :

La hauteur de la rampe est de 2 mètres. Cela signifie que le carton parcourra sur la rampe une distance égale à l’hypoténuse du triangle formé par la rampe et sa hauteur  :

Le temps, lui est donnée par le rapport entre vitesse et accélération :
Cela signifie que la durée est égale à :

Maintenant, nous savons que la vitesse verticale maximale est de 2.5 m/s. Ce que nous avons ici, c’est la vitesse horizontale le long de la rampe. Exprimons donc la vitesse horizontale en fonction de la vitesse verticale :

La distance parcourue lors d’une accélération est donnée par l’expression suivante :

On intègre tout ce qu’on connaît jusqu’à maintenant dans notre expression pour  :

Et on résout pour l’angle :

Et ça donne 23,5°. Malins, on dira plutôt 23°.

Elle était pas mal, celle-là, dans la catégorie il faut vraiment penser à tout. Ironiquement, il y a une manière bien plus simple de résoudre ce type de problème, mais il faut utiliser le concept de conservation de l’énergie mécanique…